AMC 8 2017 Problem 19

AMC8 2017 年第 19 题

整除与因数★★★★☆

For any positive integer

M

, the notation M! denotes the product of the integers 1 through

M

. What is the largest integer

n

for which

5^n

is a factor of the sum 98!+99!+100! ?

对于任何正整数 M，符号 M! 表示从 1 到 M 的所有整数的乘积（例如 4! = 1×2×3×4 = 24）。求使得

5^n

是 98!+99!+100! 的因子的最大整数 n 是多少？

正确答案 · Correct Answer

解析 · Solution

解法1

三个连续阶乘相加，先「提公因式」化简成

98!\times10^4

，再数里头有几个 5。答案 n=26。难点全在「数 5」那一步——25 是个坑。

解法1（提公因式 + 数 5） 98!、99!、100! 里 98! 最小。由 99!=99×98!、100!=100×99×98! 把 98! 提出来：

98!+99!+100!=98!\,(1+99+99×100)=98!\,(1+99+9900)=98!\times10000=98!\times10^4.

要找最大的

n

使

5^n

整除它，就是数这个数里「一共有几个质因数 5」。 ·

10^4=(2×5)^4

，含 4 个 5。 ·

98!=1×2\times\cdots\times98

里有几个 5？只有 5 的倍数才带 5：先数 5 的倍数 5、10、15、…、95，共

\displaystyle \left\lfloor\frac{98}{5}\right\rfloor=19

个，各带一个 5 → 先记 19 个。「但 25、50、75 是

5^2

的倍数，每个其实带两个 5」，上一步只数到一个，要再补一个：

\displaystyle \left\lfloor\frac{98}{25}\right\rfloor=3

个 → 再加 3。再上一层 125 是

5^3

？而 125>98，没有，停。合计 19+3=22 个 5。 · 两处相加：22+4=26。所以 n=26。

Solution 1

*(Factor out, then count fives.)* Among 98!, 99!, 100! the smallest is 98!. Using 99!=99×98! and 100!=100×99×98!:

98!+99!+100!=98!\,(1+99+99×100)=98!\,(1+99+9900)=98!\times10000=98!\times10^4.

The largest

n

with

5^n

dividing this is just the total number of factors of 5 in it. ·

10^4=(2×5)^4

contributes 4 fives. · How many 5's in

98!=1×2\times\cdots\times98

? Only multiples of 5 carry one. Count multiples of 5: 5, 10, …, 95, that is

\displaystyle \left\lfloor\frac{98}{5}\right\rfloor=19

, each giving one 5 → 19 so far. But 25, 50, 75 are multiples of

5^2

and carry two 5's each; the first pass caught only one, so add

\displaystyle \left\lfloor\frac{98}{25}\right\rfloor=3

more. Next level 125 is

5^3>98

: none. Total 19+3=22. · Add up: 22+4=26, so n=26.

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