AMC 8 2022 Problem 25

AMC8 2022 年第 25 题

概率★★★★★

A cricket randomly hops between 4 leaves, on each turn hopping to one of the other 3 leaves with equal probability. After 4 hops what is the probability that the cricket has returned to the leaf where it started?

一只蟋蟀随机地在 4 片叶子之间跳来跳去，每次都以相同的概率跳到其它的 3 片叶子上。问经过 4 次跳跃，蟋蟀回到它开始的那片叶子的概率是多少？

A. $\displaystyle \frac{2}{9}$
B. $\displaystyle \frac{19}{80}$
C. $\displaystyle \frac{20}{81}$
D. $\displaystyle \frac{1}{4}$
E. $\displaystyle \frac{7}{27}$

正确答案 · Correct Answer

解析 · Solution

解法1

先把结构想清楚：4 片叶子分两类——你此刻站的那片（起点 S），和其余 3 片（它们地位完全一样，统称「其他叶」）。每一步必离开当前那片，等概率（各

\displaystyle \tfrac{1}{3}

）落到另外 3 片之一。问 4 步后回到 S 的概率。抓住「3 片其他叶完全等价」这个对称，是这题所有巧解的根。

三种解法殊途同归，都得

\displaystyle \tfrac{7}{27}

：解法1 最朴素（把回到 S 的路线算出来），解法2 用对称只看第 3 步，解法3 把它压成两态逐步推。

解法1（常规解法·数路线）第 1 步一定离开 S，落到某片其他叶（记作 O）。要 4 步回到 S，从 O 出发的后 3 步只有两条走法。下面两种写法结果一样。

写法一（算概率）：路线①「中途先回一次」 S→O→S→O→S：

\displaystyle \tfrac{1}{3}\times 1\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{9}

（回 S；再出去必落到某片其他叶，概率 1；再回 S）。路线②「一直在外面绕」 S→O→O→O→S：

\displaystyle \tfrac{2}{3}\times\tfrac{2}{3}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{27}

（两次都留在其他叶，各

\displaystyle \tfrac{2}{3}

；最后回 S）。两条互斥，合计

\displaystyle \tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{27}=\tfrac{7}{27}

。

写法二（数个数）：每条具体的 4 步路线概率都是

\displaystyle \left(\tfrac{1}{3}\right)^4=\tfrac{1}{81}

，共

3^4=81

条；只要数出回到 S 的有几条。路线①型 S→O→S→O→S：第 1 步挑其他叶（3 种）、第 2 步必回 S（1 种）、第 3 步再挑其他叶（3 种）、第 4 步必回 S（1 种）→

3×1\times3×1=9

条。路线②型 S→O→O→O→S：第 1 步挑其他叶（3 种）、第 2,3 步都要留在其他叶（各 2 种，去掉 S）、第 4 步必回 S（1 种）→

3×2\times2×1=12

条。第 2 步只有「回 S」或「不回 S」两种，正好对应①②，不重不漏；共 9+12=21 条 →

\displaystyle \tfrac{21}{81}=\tfrac{7}{27}

。

易错点：第 1 步「离开 S」是必然事件（概率 1），别多乘一个

\displaystyle \tfrac{1}{3}

；两条回程别只想到②（一直在外）而漏了①（中途先回）。

进阶·两态递推

把 4 片叶子压成「在 S／不在 S」两种状态：要某一步停在 S，必须上一步不在 S、再以

\displaystyle \tfrac{1}{3}

跳回。下面口语版已够用，进阶版给出公式。

口语版（不写公式也能做）：每一步「在 S 的概率」＝「上一步不在 S 的概率」

\displaystyle \times\tfrac{1}{3}

，逐步算：第 1 步：必离开 S → 0。第 2 步：上一步必不在 S（概率 1）→

\displaystyle 1\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}

。第 3 步：上一步不在 S 的概率

\displaystyle =1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}

→

\displaystyle \tfrac{2}{3}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{9}

。第 4 步：上一步不在 S 的概率

\displaystyle =1-\tfrac{2}{9}=\tfrac{7}{9}

→

\displaystyle \tfrac{7}{9}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{27}

。

进阶版（写成公式）：记

p_n

为第

n

步在 S 的概率、

p_0=1

。看上一步（第 n-1 步）分两种情形：若上一步在 S（概率

p_{n-1}

）→ 这一步必离开，对「在 S」贡献 0；若上一步不在 S（概率

1-p_{n-1}

）→ 这一步有

\displaystyle \tfrac{1}{3}

跳回。两种情形相加：

p_n=p_{n-1}\cdot 0+(1-p_{n-1})\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}\,(1-p_{n-1})

滚动得

\displaystyle p_1=0,\ p_2=\tfrac{1}{3},\ p_3=\tfrac{2}{9},\ p_4=\tfrac{7}{27}

。这条公式属竞赛进阶，能推出口语版就够，不必强记。

前置（按需补）：全程只用两条最基本的概率规则——「沿一条路把每步概率相乘」「不同（互斥）路线的概率相加」；再加一个关键观察——3 片其他叶完全等价（对称），可合并成一个「不在 S」状态。解法3 的递推公式属竞赛进阶，不是必需。

Solution 1

*(Elementary — count the paths back to the start.)* First the structure: the 4 leaves split into two kinds — the leaf you are on (start

S

) and the other 3 (all interchangeable, call any of them

O

). Each hop must leave the current leaf, landing on one of the other 3 with probability

\displaystyle \tfrac{1}{3}

each. The first hop always leaves

S

for some

O

; to be back at

S

after 4 hops, the last 3 hops from

O

follow only two routes. Two ways to finish, same result.

Way 1 (multiply probabilities): Route ① "dip back once"

S\to O\to S\to O\to S

\displaystyle \tfrac{1}{3}\times 1\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{9}

(back to

S

; out to some

O

with probability 1; back to

S

). Route ② "stay out"

S\to O\to O\to O\to S

\displaystyle \tfrac{2}{3}\times\tfrac{2}{3}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{27}

(stay among the other leaves,

\displaystyle \tfrac{2}{3}

each; then return). Mutually exclusive:

\displaystyle \tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{27}=\tfrac{7}{27}

Way 2 (count the paths): Every specific 4-hop path has probability

\displaystyle \left(\tfrac{1}{3}\right)^4=\tfrac{1}{81}

, and there are

3^4=81

; just count those returning to

S

. Route-① type

S\to O\to S\to O\to S

: hop 1 picks an

O

(3), hop 2 back to

S

(1), hop 3 picks an

O

(3), hop 4 back to

S

(1)

=3×1\times3×1=9

. Route-② type

S\to O\to O\to O\to S

: hop 1 picks an

O

(3), hops 2,3 stay off

S

(2 each, dropping

S

), hop 4 back to

S

(1)

=3×2\times2×1=12

. After hop 2 the cricket is back at

S

or not — exactly Routes ① and ②, no overlap or gap; so 9+12=21 and

\displaystyle \tfrac{21}{81}=\tfrac{7}{27}

Trap: the first hop leaving

S

is certain (probability 1) — don't multiply an extra

\displaystyle \tfrac{1}{3}

; and don't forget Route ① (many see only Route ②).

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