AMC 8 2024 Problem 13

AMC8 2024 年第 13 题

递推★★★☆☆

Buzz Bunny is hopping up and down a set of stairs, one step at a time.

In how many ways can Buzz Bunny start on the ground, make a sequence of 6 hops, and end up back on the ground?

(For example, one sequence of hops is up-up-down-down-up-down.)

小兔子Buzz在台阶上跳上跳下，每次跳一个台阶。Buzz从地面开始跳跃，连续跳跃6次。请问Buzz有几种方式，最后可以跳回地面？（例如其中一种方式为上-上-下下-上-下。）

A.4
B.5
C.6
D.8
E.12

正确答案 · Correct Answer

解析 · Solution

解法1

查看选项，你可以逐一列举出来。列出后得到：

\mathit{UUDDUD}

、

\mathit{UDUDUD}

、

\mathit{UUUDDD}

、

\mathit{UDUUDD}

、

\mathit{UUDUDD}

。统计上述所有路径，得到5条。任何组合都可以写成

\mathit{UUUDDD}

的某种重排。显然，我们必须以向下结束，以向上开始，因此我们需要将2个

U

和2个

D

插入到

U\, \_ \, \_ \, \_ \, \_ \, D

中的方式数。共有

{4\choose 2}=6

种方式，但需要去掉

\mathit{UDDUUD}

这种情况，得到5种。我们知道没有更多情况了，因为（从第一个

U

开始）在遇到

D

之前至少有一个

U

，在遇到两个

D

之前至少有两个

U

（因为去掉了那一种情况），并且在遇到第三个

D

结束之前至少有三个

U

。Wijetunga稍作修改。这些数字显然是卡特兰数。由于我们有6步，我们需要第三个卡特兰数，即5。稍作修改。第一步必须是U，最后一步必须是D。第三步之后，我们只能到达位置3或位置1。第一种情况只有一种方式：UUUDDD。第二种情况有两种方式到达该位置：UDU和UUD。类似地，有两种方式返回位置0（UDD和DUD）。因此，我们有

1 + 2 \cdot 2 = 5

。稍作修改。

继续练习

免费刷 2024 整卷 →