AMC 8 2026 Problem 22
AMC8 2026 年第 22 题
统计与数据图表★★★★☆
The integers from 1 to 25 are arbitrarily separated into five groups of 5 numbers each. The median of each group is identified. Let M equal the median of the five medians. What is the least possible value of M?
将 1 到 25 的整数任意分成五组，每组 5 个数。找出每组的中位数，再求这五个中位数的中位数 M。M 的最小可能值是多少？
- A.9
- B.10
- C.12
- D.13
- E.14
正确答案 · Correct Answer
A
解析 · Solution
解法1
先把题意理清：把 这 25 个整数任意分成 5 组、每组 5 个；每组取中位数（5 个数里第 3 小的那个），再取这 5 个中位数的中位数 （即第 3 小的那个中位数）。问 最小能多小。
三种解法都指向同一个最小值 M=9：解法1 数下界再构造，解法2 摆成方阵一眼看出下界，解法3 用「隔离大数」的直觉。
解法1（常规解法·数下界+构造）
要让 尽量小，至少得有 3 个组的中位数 （因为 是 5 个中位数里第 3 小的，排前三的都 ）。
一个组若中位数 ，那么「中位数 + 它下面的 2 个数」这 3 个数都 。3 个这样的组互不相交，就需要 3×3=9 个不同的数都 。而 的整数只有 共 个，所以 。
下界取得到吗？给一个构造：
A： → 中位数 3
B： → 中位数 6
C： → 中位数 9
D： → 中位数 12
E： → 中位数 15
五个中位数 3,6,9,12,15，它们的中位数 M=9。故最小值就是 9。
巧解·摆成方阵看左上角
把 5 组排成一个 5×5 方阵：每组占一行、行内从小到大排，于是每行的中位数落在第 3 列；再把 5 行按中位数从小到大上下排，那么正中心那格（第 3 行第 3 列）就是 。
看左上角 3×3（上图紫色）：同一行里， 左边的数都小于本行中位数、因而 ； 上面那两行，行中位数都 <M，它们左边的数更小。所以左上 3×3 这 9 个格子里的数全 。9 个不同的数都 ，逼出 （再配上解法1 的构造，即知 M=9）。一张图就把下界看明白了。
另一视角·隔离大数
反过来想：要把 压小，就别让大数混进前面几组、抬高它们的中位数。把最大的 10 个数 全塞进最后两组——D：（中位数 18）、E：（中位数 23）。剩下 填 A、B、C 三组；15 个数分 3 组，要让中位数排第 3 的那组中位数最小，最优分配下它正好是第 9 个数 9：A 中位数 3、B 中位数 6、C： 中位数 9。于是 M=9。
易错点： 不是「最小的那个中位数」，而是 5 个中位数排好序后「正中间」那个，别只盯着一个组；完整答案要两头都给到——下界 （9 个数必须 ）＋ 构造说明 9 真能达到。
Solution 1
*(Elementary — a counting bound, then a construction.)* To make small, at least 3 of the groups must have median (since is the 3rd smallest of the 5 medians). In any such group, the median together with the two numbers below it — 3 numbers — are all . Three such disjoint groups need 3×3=9 distinct numbers . But only (that is, numbers) are , so .
Can 9 be reached? Yes:
A: → median 3
B: → median 6
C: → median 9
D: → median 12
E: → median 15
The five medians 3,6,9,12,15 have median M=9. So the least possible value is 9.
*(Slick — arrange a square and look at the corner.)* Put the 5 groups as the rows of a 5×5 array: sort each row, so its median sits in column 3; then sort the rows by median, so the very center cell (row 3, column 3) is .
In the top-left 3×3 (shaded): within 's row, the entries left of are below that row's median ; in the two rows above , the medians are <M and the entries to their left are smaller still. So all 9 cells of the top-left 3×3 are . Nine distinct numbers forces — and Solution 1's construction reaches 9.
*(Another angle — isolate the large numbers.)* To keep low, don't let big numbers inflate the early medians. Seal the 10 largest, , into the last two groups: D (median 18), E (median 23). The remaining fill A, B, C. Splitting 15 numbers into 3 groups, the smallest possible median for the third group is the 9th number, 9: A median 3, B median 6, C median 9. Hence M=9.
Watch out: is not the smallest median but the middle one of the five sorted medians; a complete answer needs both the bound () and the construction (=9).
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