AMC 8 2018 Problem 24

AMC8 2018 年第 24 题

立体几何★★★★☆

In the cube

ABCDEFGH

with opposite vertices

C

and

E

J

and

I

are the midpoints of edges

\overline{FB}

and

\overline{HD}

, respectively. Let

R

be the ratio of the area of the cross-section

EJCI

to the area of one of the faces of the cube. What is

R^2

在正方体

ABCDEFGH

中，顶点

C

和

E

相对，点

J

和点

I

分别是棱

\overline{FB}

和

\overline{HD}

的中点。

R

表示横截面

EJCI

的面积和正方体的一个面的面积之比，求

R^2

。

正确答案 · Correct Answer

解析 · Solution

解法1

常规解法 · 设边长算对角线设棱长

s

。

EJCI

是菱形（对称），两对角线

EC=s\sqrt3

（体对角线）、

JI=s\sqrt2

（面对角线）。菱形面积

\displaystyle =\frac12\cdot s\sqrt3\cdot s\sqrt2=\frac{s^2\sqrt6}{2}

。比面

s^2

得

\displaystyle R=\frac{\sqrt6}{2}

，

\displaystyle R^2=\frac{6}{4}=\frac32

。

Solution 1

Elementary · set the side, compute the diagonals By symmetry

EJCI

is a rhombus. Let the cube's edge be

s

. By the Pythagorean theorem the diagonals are

EC=s\sqrt3

(a space diagonal) and

JI=s\sqrt2

(a face diagonal), so the cross-section area is

\displaystyle \frac12\cdot s\sqrt3\cdot s\sqrt2=\frac{s^2\sqrt6}{2}

. Dividing by the face area

s^2

gives

\displaystyle R=\frac{\sqrt6}{2}

, so

\displaystyle R^2=\frac{6}{4}=\frac32

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